문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 게이지 장 (문단 편집) === 일반적인 게이지 대칭성, 양 밀스 게이지 장 === [math(\displaystyle \psi \to e^{-i\Lambda} \psi)] 변환에 대한 게이지 대칭성을 요구한 것이 강력한 결과를 가져 왔다는 것을 위에서 살펴 봤었다. 그런데 물리학자들은 여기서 멈추지 않았다. 저러한 게이지 변환이 더 있을 수 있을 거라는 생각을 하기에 이른다. 저걸 어떻게 바꾸나 싶겠지만 변환으로 곱해진 [math(\displaystyle e^{-i\Lambda})]를 가만 보면 확장할 수 있는 방법이 보인다. 이 항은 지금 한 실수(함수)지만 만약 이것이 행렬이라면? 사실 [math(\displaystyle \psi \to e^{-i\Lambda} \psi)]는 [math(\displaystyle \psi)]라는 어떤 ([math(\displaystyle 1 \times 1)]-)행렬에[* 사실 스피너는 그 자체로 4개의 성분을 가진다고 볼 수 있다. 하지만 게이지 변환을 생각할 때에는 그러한 4개 성분을 그냥 한 성분으로 묶어서 취급한다. 즉, 앞으로 언급할 행렬들은 그 성분들이 전부 [math(\displaystyle \psi)] 같은 스피너이거나 혹은 여기에 곱해지는 디랙 감마 행렬 같은 것들이 된다.] ([math(\displaystyle 1 \times 1)]-)행렬 [math(\displaystyle e^{-i\Lambda})]을 곱한 것이다. 이것을 스피너로 구성된 [math(\displaystyle n \times 1)]-행렬에 [math(\displaystyle n \times n)]-행렬을 곱한 것으로 확장한다면? 미친 생각 같아 보이지만 사실 관측에서 이와 관련이 있을 것 같은 현상이 있었다. 바리온들의 대칭성이 그것이었는데, 여러 입자들이 어떤 순서쌍(multiplet)을 이루어 마치 벡터처럼 행동하고 이 벡터에 대한 대칭성이 존재하는 것으로 보였던 것이다. 그래서 디랙 장을 하나만 아니라 여러 개를 묶어서 한꺼번에 다루는 것을 물리학자들은 생각해 냈고 이런 상황에서 여러 개가 뒤섞이는 게이지 변환을 생각하는 것은 어찌 보면 당연했다. 아무튼 [math(\displaystyle \psi \to e^{-i\Lambda} \psi)]를 행렬로 확장해 보자. 즉, [math(\displaystyle \psi)]를 [math(\displaystyle \psi = (\psi_1, \psi_2, \cdots, \psi_n))]인 [math(\displaystyle n \times 1)]-열백터로 놓고 [math(\displaystyle \Lambda)]를 [math(\displaystyle n \times n)]-행렬(함수)이라고 놓차는 것이다. 그런데 일반적으로 행렬 [math(\displaystyle e^{-i\Lambda})]들을 모은 집합은 군(group)이 된다. 즉, 곱셈에 대해 닫혀 있고 항등원을 가지며 모든 원소가 역원을 가지는 집합인 것이다. 이 군을 가리켜 게이지 군(gauge group)이라고 부른다. 특히 이 군은 곱셈과 역원 연산이 항상 미분 가능하다는 것을 볼 수 있다. 이런 군을 가리켜 ''[[리 군]](Lie group)''이라고 부른다. 즉, 모든 게이지 군은 리 군 중 하나이다. 한편, 이러한 리 군은 행렬 [math(\displaystyle \Lambda)]들로 인해 생성된다(generated)고 말하는데, 이 행렬들을 가리켜 ''[[리 대수]](Lie algebra)''라고 부른다.[* 사실 수학에서 말하는 정확한 '리 대수'와는 다르다. 실제로는 [math(\displaystyle e^{\Lambda})]와 같은 식으로 생성할 때를 가리켜 부르는 것이다. 물론 불편하긴 해도 잘 변환하면 수학에서 전개된 리 군, 리 대수 이론을 물리학에서도 잘 써먹을 수 있긴 하지만. 이렇듯 수학에서 쓰이는 용어와 정의와 물리학에서 쓰이는 것은 차이가 조금씩 날 때가 많다.] 바로 여기서 현대 수학의 금자탑 중 하나인 리 군이 제대로 써먹히는 것이다.[* 로렌츠 변환들을 모은 집합 역시 리 군이 된다. 사실 이미 우리는 리 군을 열심히 써 왔던 것이다. 하지만 게이지 장 이론에서만큼 다양한 리 군이 동원된 적은 없었다.] 다만 리 군과 리 대수만 하더라도 엄청나게 설명할 것이 많기에 이야기를 진행하는 도중 필요한 것들만 간단하게 설명하기로 하고 나머지에 대한 설명은 생략한다.[* 이것만 해도 대학원 한 과목 분량이라 여기에서 설명하기가 곤란하다. 입자물리를 위한 리 군 및 리 대수 이론은 H. Georgi, Lie Algebras In Particle Physics, 2nd Ed., CRC Press (1999) 등을 읽는 것으로 시작하여도 좋을 것이다.] 예를 들어 위에서 다뤘던 [math(\displaystyle n = 1)]인 경우는 게이지 군이 [math(\displaystyle U(1))]과 같은 것이다. 이 군은 그야말로 [math(\displaystyle e^{i\theta})] 같은 것들의 집합[* 여기에 복소수 곱셈을 준 것. 이렇게 연산까지 줘야 군이라고 말할 수 있는 것이다.]과 같은 것인데[* '같다'는 것은 '둘 간에 어떤 동형사상(isomorphism)이 존재한다'는 뜻으로 읽어야 한다. 현대 수학의 기본적인 철학(?) 중 하나로, 이인석 교수의 선형대수와 군에서는 isomorphism에 '이름 바꾸기'라는 별명을 달아준다.] 그런 의미에서 전자기장을 가리켜 '''[math(\displaystyle U(1))]-게이지 장'''이라고 부른다. 그런데 [math(\displaystyle U(1))]의 곱은 교환법칙을 가진다는 것을 바로 알 수 있다. 이런 성질을 가지는 군을 가리켜 가환 군 또는 Abelian 군[* 수학자 아벨(Abel)의 이름을 딴 이름이다. 대수학에서 워낙 많이 쓰이는 탓에 책에 따라서는 사람 이름인데도 그냥 abelian이라고 쓰이기도 한다.]이라고 부른다. 이런 Abelian 군에 의한 게이지 대칭성을 갖는 장을 가리켜 Abelian 게이지 장이라고 부른다. 그런데 리 군 대부분은 Abelian이 아니다. 오히려 Abelian인 경우는 매우 특수한 경우에 속한다. 실제로 게이지 장 중에서 Abelian인 경우는 전자기장이 유일하다.[* 그럴 수밖에 없는 것이, 나중에 보겠지만 게이지 대칭에 쓰이는 리 군들 중에서 Abelian인 것은 [math(\displaystyle U(1))] 혹은 [math(\displaystyle U(1))] 여러 개의 direct product가 전부이다.] 따라서 이제부터 다루게 될 게이지 장은 non-Abelian 게이지 장이 될 것이다. 한편, 여기서부터는 디랙 장이라는 표현 대신 페르미온 장이라는 표현으로 [math(\displaystyle \psi)]를 표현할 것이다. 위에서 그랬듯 페르미온 장이 로렌츠 불변성과 게이지 불변성을 가지는 법칙을 만족하리라고 기대할 것이다. 그러면 위에서 그랬듯이 어떤 벡터 장이 튀어나올 것인데, 이번에도 우리는 그것이 뭔지 모른다고 할 것이다. 일단 자유 입자에 대한 페르미온 장의 액션부터 써 보자. 다음과 같을 것이다. [math(\displaystyle S = \int \bar{\psi} i \gamma^\mu \partial_\mu \psi - m \bar{\psi} \psi d^4 x.)] 물론 위에서 썼던 것과 다를 이유는 없다. 다만 이번에는 예컨대 [math(\displaystyle \bar{\psi})]를 아예 [math(\displaystyle \bar{\psi_i})]들의 행벡터로 놓아서 계산해야 한다는 것을 주의해야 한다. 한편, 게이지 변환을 조금 다르게 쓸 필요가 있다. 이렇게. [math(\displaystyle \psi \to e^{-i \Lambda^a t^a} \psi.)] 여기서 [math(\displaystyle t^a)]는 어떤 행렬들이고 [math(\displaystyle \Lambda^a)]는 함수들이며 [math(\displaystyle \sum_a)] 기호가 생략되었다. [math(\displaystyle t^a)]는 특별한 행렬들인데, 이 행렬들은 주어진 리 군에 해당하는 리 대수의 한 기저(basis)를 이루는 행렬들이다. 이렇게 표현하면 모든 게이지 변환을 다루기 쉽게 표현할 수 있다. 위에서 그랬듯이 자유 입자의 액션은 로렌츠 변환에 불변이나 도함수가 들어간 항 때문에 게이지 변환에 불변이지 않다. 이걸 해결하기 위해서 물론 [math(\displaystyle a^\mu D_\mu \psi = \lim_{h \to } \frac{1}{h} (\psi(x + ha) - U(x + ha, x) \psi(x)))] 로 정의한 다음 [math(\displaystyle \partial_\mu)]를 [math(\displaystyle D_\mu)]로 교체하고 나서 새로운 벡터장 만의 액션을 추가할 것이다. 다만 이번에 [math(\displaystyle U(x + ha, x))]는 행렬로. 그러면 [math(\displaystyle U(x + ha, x))]는 이렇게 전개될 수 있다. [math(\displaystyle U(x + ha, x) = 1 - ig h a^\mu A_\mu + h^2 (\cdots).)] 여기서 [math(\displaystyle g)]는 [math(\displaystyle e)] 대신 쓴 기호이다. [math(\displaystyle A_\mu)]는 행렬인데, 이걸 [math(\displaystyle t^a)]들을 이용해서 좀 더 다루기 간편한 꼴로 만들 수 있다. 이렇게. [math(\displaystyle U(x + ha, x) = 1 - ig h a^\mu t^a A^a_\mu + h^2 (\cdots).)] 이 정의대로라면 공변 도함수는 이렇게 써질 것이다. [math(\displaystyle D_\mu = \partial_\mu + ig t^a A^a_\mu.)] 그리고 액션의 도함수를 이걸로 교체할 것이다. 이제 이게 진짜로 게이지 불변성을 가지는지 살펴 보자. 그런데... 여기서부터 non-Abelian 성질 때문에 좀 복잡해진다. 게이지 불변성을 알기 위해서는 [math(\displaystyle A^a_\mu)]의 게이지 변환을 알아야 한다. 그런데 게이지 변환으로 곱해 주는 것이 더 이상 그냥 수가 아니라 행렬이기에 [math(\displaystyle e^{-i t^a \Lambda^a(x + ha)} = \sum_{r = 0}^\infty h^r \left. \frac{d^r}{dh^r} \right|_0 e^{-i t^a \Lambda^a(x + ha)})]를 [math(\displaystyle e^{-i t^a \Lambda^a(x)} \left( 1 - ih a^\mu t^a \partial_\mu \Lambda^a(x) + h^2 (\cdots) \right))]와 같이 쓰기가 어려워진다. 따라서 위에서 썼던 방법을 그대로 쓸 수는 없다. 다른 방법을 써 보자. 행렬이라고 해도 이런 것은 성립한다. [math(\displaystyle 0 = \left. \frac{d}{dh} \right|_0 1 = \left. \frac{d}{dh} \right|_0 (e^{-i \Lambda(x + ha)} e^{i \Lambda(x + ha)}) = e^{-i \Lambda(x)} \left. \frac{d}{dh} \right|_0 e^{i \Lambda(x + ha)} + \left( \left. \frac{d}{dh} \right|_0 e^{-i \Lambda(x + ha)} \right) e^{i\Lambda(x)})] [math(\displaystyle \;\; = e^{-i \Lambda(x)} a^\mu \partial_\mu e^{i \Lambda(x)} + \left( \left. \frac{d}{dh} \right|_0 e^{-i \Lambda(x + ha)} \right) e^{i\Lambda(x)})] 이제 이걸 이용하면 다음을 얻는다. [math(\displaystyle e^{-i\Lambda(x + ha)} U(x + ha, x) e^{i\Lambda(x)})] [math(\displaystyle = \left( e^{-i t^a \Lambda^a(x)} + h \left. \frac{d}{dh} \right|_0 e^{-i t^a \Lambda^a(x + ha)} + h^2 (\cdots) \right) (1 - ig h a^\mu t^a A^a_\mu + h^2 (\cdots)) e^{i t^a \Lambda^a(x)})] [math(\displaystyle = 1 - ig h a^\mu e^{-i t^a \Lambda^a(x)} t^a A^a_\mu e^{-i t^a \Lambda^a(x)} + h \left( \left. \frac{d}{dh} \right|_0 e^{-i t^a \Lambda^a(x + ha)} \right) e^{i t^a \Lambda^a(x)} + h^2 (\cdots))] [math(\displaystyle = 1 - ig h a^\mu e^{-i t^a \Lambda^a(x)} t^a A^a_\mu e^{-i t^a \Lambda^a(x)} - h e^{-i t^a \Lambda^a(x)} a^\mu \partial_\mu e^{i t^a \Lambda^a(x)} + h^2 (\cdots))] [math(\displaystyle = 1 - ig h a^\mu e^{-i t^a \Lambda^a(x)} \left( t^a A^a_\mu - \frac{i}{g} \partial_\mu \right) e^{-i t^a \Lambda^a(x)} + h^2 (\cdots).)] 따라서 [math(\displaystyle A^a_\mu)]의 게이지 변환은 다음과 같다. [math(\displaystyle t^a A^a_\mu \to e^{-i t^a \Lambda^a} \left( t^a A^a_\mu - \frac{i}{g} \partial_\mu \right) e^{i t^a \Lambda^a}.)] 만약 [math(\displaystyle t^a)]가 [math(\displaystyle 1 \times 1)]-행렬이었으면 위 식은 정확하게 전자기장에서의 게이지 변환으로 줄어든다. 하지만 일반적으로 벡터장의 게이지 변환은 저렇게 제법 복잡하다. 복잡하긴 하지만 우리의 액션이 게이지 불변성을 가지게 하는 데 도움을 준다면 사실 아무래도 상관 없다. 이걸 가지고 우리의 액션이 게이지 변환에 불변하는가를 살펴 보자. [math(\displaystyle \bar{\psi} i \gamma^\mu (\partial_\mu + ig t^a A^a_\mu) \psi)] [math(\displaystyle \to \bar{\psi} e^{i t^a \Lambda^a} i \gamma_\mu \left(\partial_\mu + ig e^{-i t^a \Lambda^a} ( t^a A^a_\mu - \frac{i}{g} \partial_\mu ) e^{i t^a \Lambda^a} \right) (e^{-i t^a \Lambda^a} \psi))] [math(\displaystyle = \bar{\psi} e^{i t^a \Lambda^a} i \gamma_\mu \left( e^{-i t^a \Lambda^a} \partial_\mu \psi + ( \partial_\mu e^{-i t^a \Lambda^a} ) \psi + ig e^{-i t^a \Lambda^a} t^a A^a_\mu \psi + e^{-i t^a \Lambda^a} ( \partial_\mu e^{i t^a \Lambda^a} ) e^{-i t^a \Lambda^a} \psi \right))] [math(\displaystyle = \bar{\psi} e^{i t^a \Lambda^a} i \gamma_\mu \left( e^{-i t^a \Lambda^a} \partial_\mu \psi + ( \partial_\mu e^{-i t^a \Lambda^a} ) \psi + ig e^{-i t^a \Lambda^a} t^a A^a_\mu \psi + e^{-i t^a \Lambda^a} ( - e^{i t^a \Lambda^a} \partial_\mu e^{-i t^a \Lambda^a} ) \psi \right))] [math(\displaystyle = \bar{\psi} e^{i t^a \Lambda^a} i \gamma_\mu \left( e^{-i t^a \Lambda^a} \partial_\mu \psi + e^{-i t^a \Lambda^a} ig t^a A^a_\mu \psi \right))] [math(\displaystyle = \bar{\psi} i \gamma^\mu (\partial_\mu + ig t^a A^a_\mu) \psi.)] 따라서 이렇게 교체되어 얻은 액션이 게이지 불변성을 가진다는 것을 알 수 있다. 마지막으로 벡터장만의 액션 항을 만들어 보자. 그러려면 전자기장의 [math(\displaystyle F_{\mu \nu})]와 같은 것이 필요하다. 물론 이건 [math(\displaystyle [D_\mu, D_\nu]\psi)]를 통해 정의될 수 있다. 그런데 이번에도 상황은 간단하지 않다. 전개해 보자. [math(\displaystyle [D_\mu, D_\nu] \psi = (D_\mu D_\nu - D_\nu D_\mu) \psi = D_\mu (\partial_\nu + ig t^a A^a_\nu) \psi - D_\nu (\partial_\mu + ig t^a A^a_\mu) \psi)] [math(\displaystyle = (\partial_\mu + ig t^a A^a_\mu) (\partial_\nu + ig t^b A^b_\nu) \psi - (\partial_\nu + ig t^b A^b_\nu) (\partial_\mu + ig t^a A^a_\mu) \psi)] [math(\displaystyle = (\partial_\mu \partial_\nu \psi + \partial_\mu (ig t^b A^b_\nu \psi) + ig t^a A^a_\mu \partial_\nu \psi - g^2 t^a t^b A^a_\mu A^b_\nu \psi ))] [math(\displaystyle \;\;\; - (\partial_\nu \partial_\mu \psi + \partial_\nu (ig t^a A^a_\mu \psi) + ig t^b A^b_\nu \partial_\mu \psi - g^2 t^b t^a A^b_\nu A^a_\mu \psi ))] [math(\displaystyle = (\partial_\mu \partial_\nu \psi + ig t^b (\partial_\mu A^b_\nu) \psi + ig t^b A^b_\nu \partial_\mu \psi + ig t^a A^a_\mu \partial_\nu \psi - g^2 t^a t^b A^a_\mu A^b_\nu \psi ))] [math(\displaystyle \;\;\; - (\partial_\mu \partial_\nu \psi + ig t^a (\partial_\nu A^a_\mu) \psi + ig t^a A^a_\mu \partial_\nu \psi + ig t^b A^b_\nu \partial_\mu \psi - g^2 t^b t^a A^a_\mu A^b_\nu \psi ))] [math(\displaystyle = ig (t^b \partial_\mu A^b_\nu - t^a \partial_\nu A^a_\mu + ig ( t^a t^b - t^b t^a ) A^a A^b) \psi.)] 이제 [math(\displaystyle t^a t^b - t^b t^a = [t^a, t^b] = if^{abc} t^c)]로 정의하자. 리 군과 리 대수 이론에 따르면 리 대수의 임의의 두 원소는 저런 교환자(commutator) [math(\displaystyle [\cdot, \cdot])]에 닫혀 있다. 따라서 이는 잘 정의된 식이다. 이걸 가지고 위 식을 다시 쓸 수 있다.[* 기저를 잘 주면 [math(\displaystyle f^{abc})]의 인덱스들이 순환 대칭을 가지도록 할 수 있다. 즉, [math(\displaystyle f^{abc} = f^{bca})]가 성립할 수 있다는 것이다. 그리고 보통 양자장론 책에서는 이렇게 놓는 것이 편리함을 줄 때가 많아서 기본적으로 이걸 가정한다. 하지만 여기서는 이 가정을 채택하지 않겠다.] [math(\displaystyle [D_\mu, D_\nu] \psi = ig (t^a \partial_\mu A^a_\nu - t^a \partial_\nu A^a_\mu + ig ( t^b t^c - t^c t^b ) A^b A^c) \psi)] [math(\displaystyle = ig (t^a \partial_\mu A^a_\nu - t^a \partial_\nu A^a_\mu + ig ( if^{bca} t^a ) A^b A^c) \psi)] [math(\displaystyle = ig t^a (\partial_\mu A^a_\nu - \partial_\nu A^a_\mu - gf^{bca} A^b A^c) \psi)]. 이로부터 다음 정의가 가능하다. [math(\displaystyle F^a_{\mu \nu} = \partial_\mu A^a_\nu - \partial_\nu A^a_\mu - gf^{bca} A^b A^c.)] 위에서 보인 것에 따라 다음 게이지 변환이 성립한다. [math(\displaystyle t^a F^a_{\mu \nu} \to e^{-i t^a \Lambda^a} t^a F^a_{\mu \nu} e^{i t^a \Lambda^a}.)] 이 식은 [math(\displaystyle F^a_{\mu \nu})]로부터 어떻게 로렌츠 불변이고 게이지 불변인 스칼라를 만들 수 있는지를 보여준다. 사실 다음과 같은 게이지 변환이 성립한다. [math(\displaystyle tr(t^a F^a_{\mu \nu} t^b F^{b \mu \nu}) \to tr(e^{-i t^a \Lambda^a} t^a F^a_{\mu \nu} e^{i t^a \Lambda^a} e^{-i t^a \Lambda^a} t^b F^{b \mu \nu} e^{i t^a \Lambda^a}) = tr(t^a F^a_{\mu \nu} t^b F^{b \mu \nu}).)] 이제 [math(\displaystyle (F^a_{\mu \nu})^2 = tr(t^a F^a_{\mu \nu} t^b F^{b \mu \nu}))]로 정의하면 이 식은 로렌츠 불변이면서 게이지 불변인 스칼라이다. 따라서 총 액션은 다음과 같이 쓸 수 있다. [math(\displaystyle S = \int \bar{\psi} ( i \gamma^\mu D_\mu - m ) \psi - \frac{1}{4} (F^a_{\mu \nu})^2 d^4 x)]. 이렇게 해서 일반적인 게이지 대칭을 만족하는 액션을 찾았다. 즉, 전자기장의 일반화를 찾은 것이다. 여기서 얻어진 새로운 벡터장 [math(\displaystyle A^a_\mu)]는 이걸 처음으로 고안해 낸 양전닝과 로버트 밀스의 성을 따 '''양-밀스 장(Yang-Mills Field)'''이라고 부른다. 이렇게 해서 게이지 변환을 일반화시키면 다양한 상호작용들을 찾을 수 있게 된다. 한편, 일반적으로 게이지 군으로 가능한 군은 유니타리 조건 때문에 극히 제한되는데, 그 결과로 가능한 게이지 군은 모두 어떤 컴팩트(compact)한 유사 단순 리 군(semi-simple Lie group)들과 [math(\displaystyle U(1))][* 이건 없어도 되고, 이것만 있어도 된다. 이것만 있는 경우가 바로 전자기장.]의 곱으로만 표현이 가능하다. 그리고 단순 리 군은 모두 분류가 되어 있으며, 이는 현대 수학의 가장 빛나는 업적 중 하나로 꼽힌다. 위에서 바리온들의 대칭성을 논했었다. 겔만 등의 물리학자들은 이 대칭이 컴팩트한 단순 리 군인 [math(\displaystyle SU(3))]에 해당하는 대칭이라는 것을 짐작했다. 그리고 이로부터 바리온들을 구성하는 쿼크들의 상호작용, 즉 강한 상호작용이 [math(\displaystyle SU(3))]-게이지 장으로 기술될 수 있음을 알게 되었다. 그 후 실험으로 게이지 장 이론이 잘 맞는다는 것을 확인할 수 있었다. 흥미로운 것은 강한 상호작용의 구체적인 수학적 기술이 관측으로부터 얻어진 것이 아닌 이러한 몇 가지 대칭성(로렌츠 불변성, 게이지 대칭성)으로부터 얻어진 이론(수학)적인 결과로 얻어졌다는 사실이다. 이렇듯 게이지 장은 (중력을 제외한) 모든 상호작용들을 기술할 수 있는 강력한 도구로 쓰이고 있다. 강력에 대한 설명을 더 해 보자. [math(\displaystyle t^a)]들은 모두 [math(\displaystyle SU(3))]를 생성하는 [math(\displaystyle 3 \times 3)]-행렬[* 사실 [math(\displaystyle 3 \times 3)] 말고도 다양한 크기의 행렬들로 저 군을 표현할 수 있다. [math(\displaystyle SU(3))]라서 [math(\displaystyle 3 \times 3)]가 아닌 것이다. 게다가 가능한 방법들은 무한히 많다! 그 중에서 강력을 잘 설명해 주는 것이 따로 있을 뿐인 것이다. 참고로 임의의 단순 리 군을 표현하는 방법(representation)들 역시 모두 분류가 되어 있고, 이 역시 현대 수학의 큰 성과 중 하나이다.]들이다. 즉, 이 군에 해당하는 리 대수 [math(\displaystyle \mathfrak{su}(3))]의 한 기저[* 표현 방법이 정해졌다고 기저가 유일하게 정해지는 것은 아니다. 그래도 기저를 무엇으로 택하는가는 사실 큰 문제가 안 된다. 그럼에도 강력을 다룰 땐 편의 상 보통 기저도 특정한 행렬들로 고정시킨다. 그렇게 고정이 되었을 때 [math(\displaystyle 2t^a)]들을 겔만 행렬들(Gell-Mann matrices)이라고 부른다.]이다. 이 경우 [math(\displaystyle t^a)]의 개수는 8개이다.[* 일반적으로 [math(\displaystyle SU(N))]의 경우 [math(\displaystyle t^a)]의 개수는 [math(\displaystyle N^2 - 1)]로 주어진다.] 이는 곧 [math(\displaystyle \psi)]가 세 개의 성분을 가지며 장은 8개의 성분으로 표현된다는 것을 의미한다. 바로 여기서 3개의 색깔(페르미온 장의 성분 개수)과 8가지 종류의 글루온([math(\displaystyle t^a)]의 개수)이 나오는 것이다. 소위 '''양자색동역학(QCD --- Quantum ChromoDynamics)'''의 정체인 것이다. 그리고 이 법칙은 실험과 잘 맞아떨어졌다. 이렇게 게이지 장 이론은 자연의 근본적인 상호작용 중 하나를 잘 설명해 준다. 여담으로, 페르미온 장에 대한 변분을 취하면 전자기장([math(\displaystyle U(1))]-게이지 장)의 경우에서 얻었던 운동 방정식을 거의 그대로 얻는다. 하지만 벡터장에 대한 변분을 취해서 얻은 방정식은 맥스웰 방정식과 사뭇 다르다. 벡터 퍼텐셜에 대한 방정식은 다음과 같이 주어진다. [math(\displaystyle D^\mu F^a_{\mu \nu} = j_\nu.)] 그런데 이 식에서 [math(\displaystyle F^a_{\mu \nu})]는 이미 [math(\displaystyle A^\mu)]에 대한 2차 항을 가지고 있다. 따라서 이 방정식은 비선형 2계 편미분 방정식이다. 그리고 이걸 풀 수 있는 일반적인 방법은 아직 존재하지 않는다. 심지어 어떤 특정한 조건에서 양-밀스 장방정식의 해를 구하는 문제가 다름 아닌 [[밀레니엄 문제]]들 중 하나이다.(참고: [[양-밀스 질량 간극 가설]])저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기